打人者可以要求被害人做司法鑑定嗎

可以。
根據公安部《公安機關辦理傷害案件規定》第十八條：
公安機關受理傷害案件後，應當在24小時內開具傷情鑑定委託書，告知被害人到指定的鑑定機構進行傷情鑑定。