仲裁书下来就可以申请执行

仲裁一般是当事人根据他们之间订立的仲裁协议，自愿将其争议提交由非司法机构的仲裁员组成的仲裁庭进行裁判，并受该裁判约束的一种制度。仲裁活动和法院的审判活动一样，关乎当事人的实体权益，是解决民事争议的方式之一。仲裁机构通常是民间团体的性质，其受理案件的管辖权来自双方协议，没有协议就无权受理。

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减刑批下来就可以出狱吗

不可以。法院减刑公示名单公布后，犯人具体出狱时间取决于减刑后剩余的刑期，犯人把剩下的刑期执行完就可以马上出狱。
《中华人民共和国刑法》第七十八条规定，减刑以后实际执行的刑期不能少于下列期限：(一)判处管制、拘役、有期徒刑的，不能少于原判刑期的二分之一；(二)判处无期徒刑的，不能少于十三年；(三)人民法院依照本法第五十条第二款规定限制减刑的死刑缓期执行的犯罪分子，缓期执行期满后依法减为无期徒刑的，不能少于二十五年，缓期执行期满后依法减为二十五年有期徒刑的，不能少于二十年。